Lesson 2.1

판별식과 근의 개수

The Discriminant — Counting Roots Before Solving

이차방정식을 직접 풀지 않고도, "이 방정식의 근이 몇 개인가?"를 한 줄로 판단할 수 있다. 그 한 줄이 바로 판별식 $D = b^2 - 4ac$. 근의 공식의 근호 안 값이 모든 것을 결정한다.

Hook · 도입
"풀어보지 않고도 근의 개수를 알 수 있을까?"

근의 공식 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 에서 핵심은 근호 안 — $b^2 - 4ac$. 이 값이 양수면 $\pm$ 두 가지 답, 0이면 한 가지, 음수면 실수 범위에서 답 없음.

$D = b^2 - 4ac$  — 단 하나의 식으로 모든 것이 결정

$x^2 - 5x + 4 = 0$   →   $D = 25 - 16 = 9 > 0$ → 두 실근
$x^2 - 6x + 9 = 0$   →   $D = 36 - 36 = 0$ → 중근
$x^2 + x + 1 = 0$   →   $D = 1 - 4 = -3 < 0$ → 실근 없음
Core · 정의

판별식이란

Definition

1. 판별식의 정의

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) 의 판별식 $D$ 는
$$D = b^2 - 4ac$$로 정의한다.

근의 공식 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 의 근호 안에 있는 값. 이름이 말해주듯, 근의 종류를 판별하는 식.

$D$ 는 영어 "Discriminant"의 머리글자.

2. 짝수공식의 판별식 — $D/4$

$b = 2b'$ 일 때, $\dfrac{D}{4} = b'^2 - ac$

일차항 계수가 짝수일 때는 $D/4 = b'^2 - ac$ 를 사용하면 계산이 간편. 부호 판단은 $D$ 와 $D/4$ 가 동일하므로, 어느 쪽을 써도 결과는 같다.

  • 예) $x^2 - 4x + 1 = 0$ → $b'=-2, b'^2-ac = 4 - 1 = 3 > 0$ → 두 실근
Core · 세 경우

판별식의 부호에 따른 세 가지 경우

Three Cases
D > 0

서로 다른 두 실근

$\sqrt{D}$ 가 양의 실수

$\pm \sqrt{D}$ 가 서로 다른 두 값을 만든다. 그래프는 $x$ 축과 두 점에서 만남.

D = 0

중근 (한 실근)

$\sqrt{D} = 0$

$\pm 0$ → 두 해가 같아져 단 하나의 값. 그래프는 $x$ 축에 접한다.

D < 0

실근 없음

$\sqrt{D}$ 가 실수 아님

음수의 제곱근은 실수가 아니다. 그래프는 $x$ 축과 만나지 않는다.

"실근 없음"의 의미. 중학교 단계에서는 음수의 제곱근을 다루지 않으므로, $D < 0$ 인 경우 "실수 범위에서 근이 없다" 또는 단순히 "근이 없다"라고 한다. 고등학교에서는 허수 단위 $i$ 를 도입해 두 허근으로 다루게 된다.
Apply · 응용

판별식의 활용

Using the Discriminant

활용 1 — 근의 개수만 묻는 경우

"$x^2 + 4x - 5 = 0$ 의 근의 개수는?" 같은 문제는 $D$ 만 계산하면 된다. 직접 풀 필요가 없다.

$D = 16 + 20 = 36 > 0$ → 서로 다른 두 실근

활용 2 — 미정 계수가 들어 있는 경우

$x^2 + 4x + k = 0$ 이 중근을 가지려면 $k$ 의 값은?

1
중근 조건 → $D = 0$

$D = b^2 - 4ac = 16 - 4k$

2
$D = 0$ 으로 놓고 방정식
$16 - 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 4$
3
검증

$k=4$ 대입 → $x^2 + 4x + 4 = 0$ → $(x+2)^2 = 0$ → 중근 $x = -2$ ✓

활용 3 — 실근의 존재 조건

"$x^2 + 2x + k = 0$ 이 실근을 가지려면 $k$ 의 범위는?"

실근 존재 ⇔ $D \geq 0$   (두 실근 또는 중근)
$D = 4 - 4k \geq 0 \;\Rightarrow\; k \leq 1$
$D \geq 0$ 은 서로 다른 두 실근과 중근을 모두 포함. 문제에서 "실근"이라 하면 보통 두 경우 모두.
Interactive · 판별기

근의 개수 판별기

Root Count Diagnoser

$a, b, c$ 를 입력하면 판별식과 근의 종류를 즉시 판단한다.

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions
Q1. $x^2 - 4x + 1 = 0$ 의 근의 개수는? (두 실근 / 중근 / 해 없음)
Q2. $x^2 + 6x + 9 = 0$ 의 근의 개수는?
Q3. $x^2 - 2x + 3 = 0$ 의 근의 개수는?
Q4. $x^2 + 6x + k = 0$ 이 중근을 가지려면 $k$ 의 값은?
Q5. $x^2 - 4x + k = 0$ 이 중근을 가지려면 $k$ 의 값은?
Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples
예제 1

$2x^2 + 3x + k = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 $k$ 의 범위를 구하라.

두 실근 ⇔ $D > 0$ (등호 제외)
  1. $a = 2, b = 3, c = k$
  2. $D = b^2 - 4ac = 9 - 8k$
  3. $D > 0$ → $9 - 8k > 0 \;\Rightarrow\; k < \dfrac{9}{8}$
  4. 결과 → $k < \dfrac{9}{8}$
예제 2

$x^2 + 2(k-1)x + k^2 = 0$ 이 중근을 가지려면 $k$ 의 값을 구하라.

중근 ⇔ $D = 0$. $b$ 가 짝수이므로 짝수공식의 $D/4$ 사용.
  1. $a = 1, b = 2(k-1), b' = k-1, c = k^2$
  2. $\dfrac{D}{4} = b'^2 - ac = (k-1)^2 - k^2$
  3. 전개: $(k-1)^2 - k^2 = k^2 - 2k + 1 - k^2 = -2k + 1$
  4. 중근 조건 $D/4 = 0$ → $-2k + 1 = 0 \;\Rightarrow\; k = \dfrac{1}{2}$
  5. 결과 → $k = \dfrac{1}{2}$
Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems
01★

$x^2 - 5x + 6 = 0$ 의 근의 개수는? (두 실근 / 중근 / 해 없음)

02★

$x^2 - 10x + 25 = 0$ 의 근의 개수는?

03★

$x^2 + 3x + 5 = 0$ 의 근의 개수는?

04★★

$x^2 - 10x + k = 0$ 이 중근을 가지려면 $k$ 의 값은?

05★★

$x^2 + 4x + k = 0$ 이 중근을 가지려면 $k$ 의 값은?

06★★

$x^2 - 2x + k = 0$ 이 실근(중근 포함)을 가지려면 $k$ 의 범위는? (예: k≤1)

07★★★

$x^2 - 6x + k = 0$ 이 실수 범위에서 근을 갖지 않으려면 $k$ 의 범위는? (예: k>9)

08★★★

$x^2 + 4x + 2k = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가지려면 $k$ 의 범위는?

판별식 — 풀기 전에 보는 것

$D = b^2 - 4ac$ 하나로 근의 개수를 단번에 안다. 풀이를 시작하기 전에 판별식부터 계산하는 습관 — 이것이 활용 단원의 가장 중요한 첫걸음이다. 다음 차시에서는 두 근을 직접 구하지 않고도 그 합과 곱을 알아내는 비에트의 정리를 만난다.

"Before you solve, discriminate."